И к кому в первую очередь нужно обратиться по данному вопросу?

Здравствуйте, Ольга. 

По каким законам будет осуществляться процедура, по российским или израильским?

Процедура усыновления будет осуществляться по законам Российской Федерации.

В соответствии с ч. 4 ст. 124 Семейного кодекса РФ:

4. Усыновление детей иностранными гражданами или лицами без гражданства допускается только в случаях, если не представляется возможным передать этих детей на воспитание в семьи граждан Российской Федерации, постоянно проживающих на территории Российской Федерации, либо на усыновление родственникам детей независимо от гражданства и места жительства этих родственников.

И к кому в первую очередь нужно обратиться по данному вопросу?

Вам необходимо обратиться в суд с заявлением об усыновлении в соответствии со ст. 125 ч. 1 СК РФ:

1. Усыновление производится судом по заявлению лиц (лица), желающих усыновить ребенка. Рассмотрение дел об усыновлении ребенка производится судом в порядке особого производства по правилам, предусмотренным гражданским процессуальным законодательством.

В соответствии с ч. 2 ст. 269 ГПК РФ:

2. Граждане Российской Федерации, постоянно проживающие за пределами территории Российской Федерации, иностранные граждане или лица без гражданства, желающие усыновить ребенка, являющегося гражданином Российской Федерации, подают заявление об усыновлении соответственно в верховный суд республики, краевой, областной суд, суд города федерального значения, суд автономной области и суд автономного округа по месту жительства или месту нахождения усыновляемого ребенка.

Вам необходимо приложить к исковому заявлению следующий пакет документов (ч. 1 ст. 271 ГПК РФ):

1) копия свидетельства о рождении усыновителя — при усыновлении ребенка лицом, не состоящим в браке;
2) копия свидетельства о браке усыновителей (усыновителя) — при усыновлении ребенка лицами (лицом), состоящими в браке;
3) при усыновлении ребенка одним из супругов — согласие другого супруга или документ, подтверждающий, что супруги прекратили семейные отношения и не проживают совместно более года. При невозможности приобщить к заявлению соответствующий документ в заявлении должны быть указаны доказательства, подтверждающие эти факты;
4) медицинское заключение о состоянии здоровья усыновителей (усыновителя);
5) справка с места работы о занимаемой должности и заработной плате либо копия декларации о доходах или иной документ о доходах;
6) документ, подтверждающий право пользования жилым помещением или право собственности на жилое помещение;
7) документ о постановке на учет гражданина в качестве кандидата в усыновители;
8) документ о прохождении в установленном порядке подготовки лиц, желающих принять на воспитание в свою семью ребенка, оставшегося без попечения родителей, за исключением случаев подачи заявления об усыновлении ребенка отчимом или мачехой, близкими родственниками ребенка, лицами, которые являются или являлись усыновителями и в отношении которых усыновление не было отменено, и лицами, которые являются или являлись опекунами, попечителями детей и которые не были отстранены от исполнения возложенных на них обязанностей.

С чего начать? 

Начните со сбора указанного пакета документов и составления искового заявления об усыновлении