Как продать/обменять квартиру, полученную по программе многодетной семьи с долями у детей?

Судя по вашему вопросу, квартира находится в общей долевой собственности нескольких граждан. Следовательно, для продажи квартиры нужно иметь согласие всех других собственников. 

При этом обязательно потребуется согласие органа опеки. Он его даст, если детям одновременно будет предоставлено в собственность другое жилье. Также нужно согласие обоих родителей детей

ГК РФ Статья 37. Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель — давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного