Установить отцовство можно в судебном порядке:
СК РФ Статья 49. В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке
Если ответчик будет возражать против иска, то следует заявить ходатайство о проведение медицинской экспертизы. Он ее результата и будет зависеть исход судебного разбирательства.
Что касается проживания ребенка с одним из родителей, то его тоже можно определить через суд. Для этого нужно подать иск об определении места жительства ребенка