Как можно не дать биологическому отцу детей установить свое отцовство?

Александра, на данном этапе Вы ничего не сделаете, это его право — быть установленным отцом в суде согласно статье 49 Семейного кодекса РФ:

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия.

Но после установления отцовства Вы вправе требовать выплаты алиментов, а при невыполнении им обязанностей родителя обратиться в суд за ограничением и лишением родительских прав в дальнейшем.