Владимир, здравствуйте.
Соглашусь, что ситуация неоднозначная, однако давайте исходить из закона.
Закон говорит, что даже если нет письменного трудового договора, фактическое допущение к работе уже само по себе факт заключение такого договора
Вот точные цитаты:
«Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя»
«Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.»
То есть формально нарушение есть и с вашей стороны, и со стороны работодателя. Но уволить за прогул он вас вправе.