Здравствуйте!
Да, в 14 лет ребенок может проживать с бабушкой, при этом он может быть зарегистрирован по месту жительства бабушки, а не по месту жительства своих родителей.
http://www.consultant.ru/docum...
ГК РФ Статья 20. Место жительства гражданина
2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.
При этом на бабушку лучше всего сделать доверенность для представления интересов несовершеннолетнего ребенка, например, в поликлинике, если понадобится сделать прививку.