Можно ли не ставить в новом паспорте упоминание о первом замужестве?

Здравствуйте! 

Ваш право. Но если вы предоставите свидетельство о расторжении брака, отметку Вам поставят. 

Приказ МВД России от 13 ноября 2017 г. № 851 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по выдаче, замене паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации»

156. Отметка о государственной регистрации заключения брака не производится в паспорте, выдаваемом гражданину, имевшему ранее такую отметку в паспорте, но не состоящему к моменту выдачи паспорта в брачных отношениях вследствие смерти супруга (супруги), признания брака недействительным или расторгнутым (подчеркиваю, судом). 

157. Отметка о государственной регистрации заключения брака (государственной регистрации расторжения брака) производится также в ранее выданном паспорте подразделениями по вопросам миграции по месту жительства, по месту пребывания или по месту обращения на основании свидетельства о заключении брака (расторжении брака), выданного органом ЗАГС либо дипломатическим представительством или консульским учреждением Российской Федерации, или при предъявлении гражданином выданных уполномоченным органом иностранного государства и легализованных, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации, документов о заключении (расторжении) брака за пределами Российской Федерации. При этом в штампе указываются персональные данные супруга (супруги), которые у него (нее) были до вступления в брак или до расторжения брака.