Добрый день.
Если отец ребенка признал себя таковым и вписан в свидетельство о рождении ребенка, факт отцовства не оспорен, то, во-первых, отец будет в полном объеме нести права и обязанности родителч, установленные статьей 63 Семейного кодекса РФ:
Родители имеют право и обязаны воспитывать своих детей.
Родители несут ответственность за воспитание и развитие своих детей.
Они обязаны заботиться о здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии своих детей.
Родители имеют преимущественное право на обучение и воспитание своих детей перед всеми другими лицами.
Родители обязаны обеспечить получение детьми общего образования.Родители имеют право выбора образовательной организации, формы получения детьми образования и формы их обучения с учетом мнения детей до получения ими основного общего образования.
Во-вторых, ребенок будет полноправным наследником своего отца (только отца, без учета имущества его законной жены).
Наверное я немного неотчетливо написал в своем первом ответе, поэтому немного поправлюсь и дополню.
Запись в свидетельстве о рождении ребенка о родителях, не состоящих в браке производится на основании совместного заявления с лицом, считающим себя отцом этого ребёнка, либо необходимо матери обратиться в суд с иском об установлении отцовства. После этого ребенок будет являться наследником имущества своего отца. Если в свидетельстве отсутствуют сведения об отце или отец записан со слов матери, то в таком случае ребенок не будет являться наследником своего отца. Но это можно исправить путем обращения в суд с иском об установлении отцовства.
С Уважением, Сергей.