Если в Ваши должностные обязанности входит ведение двух журналов одновременно, бумажного и электронного, то Вы обязаны выполнять данную должностную обязанность и вести два журнала. Если изначально в Ваши должностные обязанности не входило ведение двух журналов, впоследствии, после введения электронных журналов, Вы не подписывали допсоглашения к трудовому договору, либо новую должностную инструкцию, то Вы не обязаны вести два журнала.
http://www.consultant.ru/docum...
ТК РФ Статья 72. Изменение определенных сторонами условий трудового договора
Изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.