Добрый день, Дмитрий.
При договоре дарения переходит право собственности от Дарителя (то есть Вас) к одаряемому (кому Вы дарите).
Право собственности включает в себя право владения, пользования, распоряжения, а так же БРЕМЯ СОДЕРЖАНИЯ СОБСТВЕННОСТИ.
ГК РФ Статья 210. Бремя содержания имущества
Собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не предусмотрено законом или договором.
Таким образом, с момента государственной регистрации перехода права собственности от Вас к Вашему родственнику вся задолженность по ЖКХ, включая взносы на капитальный ремонт, переходит на нового собственника.
НО!!! Если задолженность установлена решением суда и есть исполнительный лист — то такая задолженность не переходит. В этом случае необходимо заключить между Вами, новым собственником и управляющей организацией договор о замене лиц в обязательстве.