С какого момента вступил в силу приказ о получении выписки из ЗАГСа?

Здравствуйте, Ольга. В соответствии с часть 3 статьи 48 Семейного кодекса РФ:

3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав — по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия — по решению суда.
При наличии обстоятельств, дающих основания предполагать, что подача совместного заявления об установлении отцовства может оказаться после рождения ребенка невозможной или затруднительной, родители будущего ребенка, не состоящие между собой в браке, вправе подать такое заявление в орган записи актов гражданского состояния во время беременности матери. Запись о родителях ребенка производится после рождения ребенка.

В соответствии со ст. 49 СК РФ:

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Таким образом, в досудебном порядке отец ребенка может установить свое отцовство, если в ЗАГС поступит его совместное с матерью ребенка заявление об установлении отцовства, или путем подачи единоличного заявления отца ребенка в ЗАГС в случаях, указанных выше в статье 48 СК РФ. В противном случае, отцовство устанавливается через суд. 

Что касается даты вступления указанных выше норм в законную силу, то это 29 декабря 1995 года.