Может ли отец пойти на больничный с ребенком, если мама в дородовом декретном отпуске?

Ольга, здравствуйте!

Отец имеет право на получение больничного листа

п. 34 Приказ Минздравсоцразвития России от 29.06.2011 N 624н «Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности» 

Листок нетрудоспособности по уходу за больным членом семьи выдается медицинским работником одному из членов семьи (опекуну, попечителю, иному родственнику), фактически осуществляющему уход.

возможно, педиатр сошлется на п. 41  

При заболевании ребенка в период, когда мать (иной член семьи, фактически осуществляющий уход за ребенком) не нуждается в освобождении от работы (ежегодные оплачиваемые отпуска, отпуск по беременности и родам, отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста 3-х лет, отпуск без сохранения заработной платы), листок нетрудоспособности по уходу за ребенком (в случае, когда он продолжает нуждаться в уходе) выдается со дня, когда мать (иной член семьи, фактически осуществляющий уход за ребенком) должна приступить к работе.

но 41-й пункт не о Вашей ситуации, поскольку в нем речь о больничном тому, кто и так не нуждается в освобождении от работы.

То, что Вы находитесь дома, еще не означает, что уход за больным ребенком отец не может осуществлять.