Акилбек, добрый день!
Несмотря на то, что вопрос закрыт, отвечу.
На сегодняшний день законодательство РФ не предусматривает возможность поставить на учет иностранного гражданина по месту пребывания по доверенности. Так, данной возможности не содержится ни в Федеральном законе от 18.07.2006 N 109-ФЗ «О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации», ни в Приказе МВД России от 23.11.2017 N 881 по предоставлению государственной услуги по осуществлению миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации.
В соответствии с Приказом МВД России от 23.11.2017 N 881
3. Заявителями являются:
3.3. Законный представитель иностранного гражданина, в случае подачи заявления о регистрации по месту жительства от имени иностранного гражданина, не достигшего 18-летнего возраста или недееспособного.
Т.е. от имени другого ИГ совершать действия в миграционном органе может только его законный представитель, причем это касается регистрации по месту жительства.
Поэтому в данной ситуации либо принимающая сторона должна уведомить о прибытии членов Вашей семьи в место пребывания, либо дать Вам (членам Вашей семьи) документ, в котором указана уважительная причина, препятствующая принимающей стороне самостоятельно направить уведомление о прибытии иностранного гражданина в место пребывания в орган миграционного учета. Во втором случае Ваша семья может самостоятельно уведомить МВД о пребывании, предоставив такой документ.
Согласен, доверенность действительна, зарегистрировать обязаны. Можете требовать письменный отказ.