Возможно ли такое, что у частного открытого ресторана не будет юридического названия?

Возможно. Но для ведения предпринимательской деятельности вам необходимо создать юридическое лицо или ИП и зарегистрироваться. В противном случае возможно привлечение к административной ответственности ( ч.1. ст.14.1 КоАП РФ штраф от 500 руб до 2000 руб), к уголовной ответственности (ст.171 УК РФ Осуществление предпринимательской деятельности без регистрации или без лицензии в случаях, когда такая лицензия обязательна, если это деяние причинило крупный ущерб гражданам, организациям или государству либо сопряжено с извлечением дохода в крупном размере. наказывается  штрафом в размере до трехсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до двух лет, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо арестом на срок до шести месяцев).

Данные о юридическом лице или ИП должны быть размещены на вывеске, на входе в ресторан.