Могут ли взыскать задолженность в данном случае?

Согласно Жилищного кодекса РФ собственник обязан оплачивать содержание и обслуживание общего имущества многоквартирного дома исходя из площади принадлежащей недвижимости.

Непроживание не является основанием для неоплаты. Вы можете предоставить справку о том, что проживаете по другому адресу и ТСЖ сделает вам перерасчет тех услуг которые возможны. 

Взыскать задолженность могут за три года (срок исковой давности 3 года) с помощью заявления о вынесении судебного приказа (или искового заявления) поданного в суд. 

Получив судебный приказ (или решение суда) ТСЖ отнесут их в службу судебных приставов. Судебные приставы делают запросы во всевозможные организации и ведомства и в том случае, когда вы трудоустроены направят документы в бухгалтерию вашей организации для удержания из вашей зарплаты определенных сумм ежемесячно.