Переходит ли вещь в мою собственность, если мне ее отдают?

Если вещь была подарена вам, соответственно она переходит в вашу собственность.

Порядок дарения предусмотрен статьей 572 ГК РФ

1. По договору дарения одна сторона (даритель) безвозмездно передает или обязуется передать другой стороне (одаряемому) вещь в собственность либо имущественное право (требование) к себе или к третьему лицу либо освобождает или обязуется освободить ее от имущественной обязанности перед собой или перед третьим лицом.

При наличии встречной передачи вещи или права либо встречного обязательства договор не признается дарением. К такому договору применяются правила, предусмотренные пунктом 2 статьи 170 настоящего Кодекса.
2. Обещание безвозмездно передать кому-либо вещь или имущественное право либо освободить кого-либо от имущественной обязанности (обещание дарения) признается договором дарения и связывает обещавшего, если обещание сделано в надлежащей форме (пункт 2 статьи 574) и содержит ясно выраженное намерение совершить в будущем безвозмездную передачу вещи или права конкретному лицу либо освободить его от имущественной обязанности.
Обещание подарить все свое имущество или часть всего своего имущества без указания на конкретный предмет дарения в виде вещи, права или освобождения от обязанности ничтожно.
3. Договор, предусматривающий передачу дара одаряемому после смерти дарителя, ничтожен.
К такого рода дарению применяются правила гражданского законодательства о наследовании.

Статья 574 ГК РФ устанавливает форму договора дарения

1. Дарение, сопровождаемое передачей дара одаряемому, может быть совершено устно, за исключением случаев, предусмотренных пунктами 2 и 3 настоящей статьи. Передача дара осуществляется посредством его вручения, символической передачи (вручение ключей и т.п.) либо вручения правоустанавливающих документов.
2. Договор дарения движимого имущества должен быть совершен в письменной форме в случаях, когда:
дарителем является юридическое лицо и стоимость дара превышает три тысячи рублей;
договор содержит обещание дарения в будущем.

В случаях, предусмотренных в настоящем пункте, договор дарения, совершенный устно, ничтожен.
КонсультантПлюс: примечание.
Договор дарения недвижимости не требует госрегистрации, если он заключен после 01.03.2013. Переход права собственности на недвижимость подлежит госрегистрации.

3. Договор дарения недвижимого имущества подлежит государственной регистрации.

При этом, есть случаи, когда дарение запрещено или ограничено. Этому посвящены статьи 575 и 576 ГК РФ.

Статья 577 и 578 ГК РФ предусматривает варианты с отменой дарения и отказом от исполнения дарения.