Могут ли уволить за систематические опоздания на несколько минут?

Вот что на этот счет указано в Письме Роструда от 11.03.2009 N 1146-ТЗ

В понятие режима рабочего времени включается также время начала и окончания работы.

Режим рабочего времени (общий для работников организации) закрепляется в правилах внутреннего трудового распорядка, который является локальным нормативным актом, и его наличие у работодателя является обязательным.
Опоздание на работу (без уважительных причин) следует расценивать как нарушение одного из условий трудового договора — режима рабочего времени.
Неисполнение или ненадлежащее исполнение работником по его вине возложенных на него трудовых обязанностей является дисциплинарным проступком, за совершение которого предусмотрены дисциплинарные взыскания вплоть до увольнения. К дисциплинарным взысканиям, в частности, относится увольнение за неоднократное неисполнение работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание.
Таким образом, если в трудовом договоре указано время начала и окончания работы, если у работника имеется неснятое дисциплинарное взыскание, очередное опоздание на работу без уважительных причин может быть расценено как нарушение трудовой дисциплины и к работнику может быть применено дисциплинарное взыскание вплоть до увольнения.

Таким образом, уволить за опоздание могут при наличии на сегодняшний день у Вас не снятого дисциплинарного взыскания наложенного ранее. 

В отсутствие взысканий — оснований для увольнения нет.

Я этого не делала. Он мне сказал: « докажите, что это неправда». 

Вы не обязаны этого делать. Если здесь речь идет о совершенном правонарушении пусть передают официальное обращение, с приложенными материалами в правоохранительные органы для проведения проверки.

Но Вы в данном случае, пока можете воздержаться от каких-либо пояснений.

А все общения с заведующим, в целях формирования доказательств предвзятого к Вам отношения и склонению Вас к увольнению по собственному желанию ведите под аудиозапись (ее можно делать и с использованием телефона).

Я этого не делала. Он мне сказал: « докажите, что это неправда».

Олег Феофанов

Вы имеете првао на обращение в суд с иском о защите чести и достоинства и возмещении морального вреда на основании ст. 150 и 152 ГК РФ. 

И при этом, доказывать данные утверждения должен будет он а не Вы. То есть обязанность доказать эти утверждения лежит на нем.

Свидетели данных утверждений есть?

При применении в отношении работника дисциплинарных взысканий должен быть соблюден следующий порядок:

Статья 193. Порядок применения дисциплинарных взысканий

 До применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать от работника письменное объяснение. Если по истечении двух рабочих дней указанное объяснение работником не предоставлено, то составляется соответствующий акт.

Непредоставление работником объяснения не является препятствием для применения дисциплинарного взыскания.

Дисциплинарное взыскание применяется не позднее одного месяца со дня обнаружения проступка, не считая времени болезни работника, пребывания его в отпуске, а также времени, необходимого на учет мнения представительного органа работников.Дисциплинарное взыскание не может быть применено позднее шести месяцев со дня совершения проступка, а по результатам ревизии, проверки финансово-хозяйственной деятельности или аудиторской проверки — позднее двух лет со дня его совершения. В указанные сроки не включается время производства по уголовному делу.За каждый дисциплинарный проступок может быть применено только одно дисциплинарное взыскание.Приказ (распоряжение) работодателя о применении дисциплинарного взыскания объявляется работнику под роспись в течение трех рабочих дней со дня его издания, не считая времени отсутствия работника на работе. Если работник отказывается ознакомиться с указанным приказом (распоряжением) под роспись, то составляется соответствующий акт.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Дисциплинарное взыскание может быть обжаловано работником в государственную инспекцию труда и (или) органы по рассмотрению индивидуальных трудовых споров.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Как видно из данной статьи, если даже работодатель лепит приказы о применении дисциплинарного взыскания, то данные приказы могут быть Вами обжалованы в связи с несоблюдением вышеуказанной процедуры.

в тексте обвинения в убийстве пациента, нанесении тяжкого вреда здоровью других пациентов, обвинения в том, что я якобы не списываю наркотические средства,

Тот кто написал данную записку должен знать, что распространение такого рода заведомо ложных сведений может образовать состав преступления -клевета. Можете припугнуть вашего работодателя следующей статьей УК РФ

Статья 128.1. Клевета

 1. Клевета, то есть распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию, -
наказывается штрафом в размере до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев либо обязательными работами на срок до ста шестидесяти часов.
3. Клевета, совершенная с использованием своего служебного положения, -
наказывается штрафом в размере до двух миллионов рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до двух лет либо обязательными работами на срок до трехсот двадцати часов.
5. Клевета, соединенная с обвинением лица в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления, -
наказывается штрафом в размере до пяти миллионов рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов.