Добрый день! Согласно ч.3 ст. 48 СК РФ
3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка.
Вам нужно обратиться в ЗАГс с паспортами и свидетельством о рождении ребёнка и подать совместное заявление. Вы не указали, состоите ли сейчас в браке, но если даже состоите, но отец не записан, процедура не меняется.
Согласно ст. 73 Федерального закона «Об актах гражданского состояния» от 15.11.1997 N 143-ФЗ
1. Внесение исправления или изменения в запись акта гражданского состояния производится органом записи актов гражданского состояния по месту хранения записи, подлежащей исправлению или изменению.
2. На основании исправленной или измененной записи акта гражданского состояния заявителю выдается новое свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния.
Поэтому при подаче такого заявления в Москве могут отказать.
Нет, в день подачи не выдают. Ознакомьтесь со ст. 50 ФЗ «Об актах гражданского состояния». Само заявление Вы сможете подать в Москве через МФЦ.