Здравствуйте!
Если Ваш отец зарегистрирует Вашу жену и ребенка в квартире, то Ваша жена, как и ребенок, кроме права проживания, не смогут претендовать на данную квартиру после развода. Разделу после развода подлежит совместно нажитое имущество. Квартира Вашего отца к нему не относится.
СК РФ Статья 34. Совместная собственность супругов
1. Имущество, нажитое супругами во время брака, является их совместной собственностью.
http://www.consultant.ru/docum...
Ваша супруга может впоследствии обратиться в суд с иском о взыскании денежных средств, которые Вы вложили в ремонт в период Вашего совместного проживания. Но получить она сможет только половину того, что было потрачено. Так как были потрачены денежные средства, которые являлись Вашим совместно нажитым имуществом. Так как к имуществу, нажитому супругами во время брака (общему имуществу супругов), относятся доходы каждого из супругов.
При этом, даже, если бы Ваш отец оформил на Вас договор дарения квартиры, то квартира все равно не подлежала бы разделу при разводе. Так как она бы была получена Вами в дар в период брака, то есть по безвозмездной сделке.
СК РФ Статья 36. Имущество каждого из супругов
1. Имущество, принадлежавшее каждому из супругов до вступления в брак, а также имущество, полученное одним из супругов во время брака в дар, в порядке наследования или по иным безвозмездным сделкам (имущество каждого из супругов), является его собственностью.
http://www.consultant.ru/docum...
Ваш отец после развода может снять с регистрационного учета Вашу жену в судебном порядке на основании Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации», если, конечно, она сама не снимется с регистрационного учета и, Вам это будет нужно.
http://www.consultant.ru/docum...
При этом, если супруга обратится в суд с иском о возмещении затрат на проведенный ремонт, то шансов у нее не много, так как для этого должна быть хорошая доказательная база. Одних чеков будет мало, так как их можно собрать в любом строительном или ином магазине.
Судебная практика по Вашему вопросу:
https://sudact.ru/regular/doc/...
http://viluchinsky.kam.sudrf.r...