Андрей, здравствуйте,
Сразу вопрос: возраст ребенка?
Вы пишете «ребенка присудили ей» — при расторжении брака был спор о месте жительства ребенка, место жительства ребенка было судом определено с матерью (замечу, это означает не конкретный адрес, а с КЕМ из родителей проживает ребенок)? Мать ребенка может увезти его в другой город. Оформление доверенности — смотря какой текст, скорее всего нет, т.к. родительские права нельзя передать по доверенности, они осуществляются непосредственно.
Спор об определении места жительства ребенка очень непростой, благоустроенная квартира это конечно плюс, но это не решающий фактор. Главное — возраст ребенка, привязанность к каждому из родителей, кто из них может наилучшим образом обеспечить интересы ребенка. В таких делах чаще всего проводится психологическая экспертиза. Большое значение имеет заключение органов опеки. Все такие случаи очень индивидуальны. Если мать ребенка им не занимается и он проживает с бабушкой — шансы высокие. Если мать заберет ребенка — они ниже. То, что мать не живет с ребенком два года — не в ее пользу, но тут вопрос насколько регулярно общаетесь с ребенком вы, кто занимается воспитанием, организацией посещения ДОУ, учреждений здравоохранения?
Обращайтесь в чат, если хотите получить персональную консультацию с учетом ньюансов вашей ситуации. Вопросов много, а информации мало. Выиграть процесс по определению места жительства ребенка с отцом без подготовки к нему практически нереально, но все в ваших руках.
Удачи!