Можно ли в данном случае лишить мать родительских прав?

Материнский капитал потому так и называется, что предоставляется матери.

 Мужчины могут быть получателями материнского капитала в случае если выступают единственными усыновителями второго, третьего ребенка или последующих детей, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2007 года.

Лишение бывшей супруги Вашего молодого человека родительских прав в отношении проживающей с ним и Вами первой дочки, лишит ее возможности получить материнский капитал, но не предоставит эту возможность Вашему молодому человеку. 

При этом, вопросы лишения родительских прав — это исключительная компетенция суда. Перечень оснований  установлен ст. 69 СК РФ. Уклонение от выполнения родительских обязанностей, в том числе по воспитанию ребенка, выплате алиментов, является основанием, но подлежит доказыванию в суде и имеет много нюансов, при которых лишить родительских прав по этому основанию ее не удастся.