Как добиться отпуска и положенных выплат после осколочных ранений у военнослужащего

В таком случае это возможно только на основании заключения ВВК, при признании его временно негодным (категория Г) на основании п. 62-64 Положения о ВВЭ (Постанволение Правительства 565 от 2013 года).

Он ВВК проходил после лечения?

Если ВВК уже была проведена, но предоставление ему отпуска не было признано необходимым, только освобождение от  службы до 15 дней, то изменить ситуацию может обжалование решения ВВК в вышестоящую комиссию или в суд, иначе всё будет продолжаться, отпуск по болезни ему не предоставят, только освобождение. Выплата в большей сумме предполагается при подтверждении тяжкого увечья, опять же — с учётом заключения ВВК и характера полученных травм.

Судя по указанным Вами последствиям, полученное им увечье действительно могли признать лёгким, учитывая положения такого документа:

Перечень
увечий (ранений, травм, контузий), относящихся к тяжелым или легким, при наличии которых принимается решение о наступлении страхового случая по обязательному государственному страхованию жизни и здоровья военнослужащих, граждан, призванных на военные сборы, лиц рядового и начальствующего состава органов внутренних дел Российской Федерации, федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, сотрудников органов принудительного исполнения Российской Федерации, лиц, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющих специальные звания полиции
(утв. постановлением Правительства РФ от 29 июля 1998 г. N 855)

Там сказано следующее:

Раздел II. К легким относятся увечья (ранения, травмы, контузии), вызывающие незначительные анатомические и функциональные нарушения, приводящие к временной потере способности исполнять обязанности военной службы на срок не менее 7 суток:

...

ранения (в том числе огнестрельные) и (или) травмы мягких тканей с разрывом мышц и сухожилий (кроме указанных в разделе I), не сопровождающиеся ранением крупных магистральных сосудов, нервных стволов конечностей и не требующие пластических оперативных вмешательств;

...

травмы органа слуха с понижением слуха до восприятия разговорной речи на оба уха до 2 м*(1);

Поэтому решающее значение имеют выводы ВВК и результаты возможного обжалования такого решения.