После гауптвахты могу продолжить службу

Если речь идет о наказании за совершение дисциплинарного проступка, то после его отбытия нет препятствий для заключения контракта, 

Как понимаю, Вы предполагали его заключить, проходя службу по призыву?

Отказ возможен лишь в том случае, если кандидат на заключение контракта не соответствует предъявляемым требованиям.

В силу ст. 33 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»

1. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, должен владеть государственным языком Российской Федерации, а также соответствовать медицинским и профессионально-психологическим требованиям военной службы к конкретным военно-учетным специальностям. Для определения соответствия гражданина установленным требованиям проводятся медицинское освидетельствование и мероприятия по профессиональному психологическому отбору.

5. Основаниями для отказа кандидату, поступающему на военную службу по контракту, в заключении с ним соответствующего контракта являются:

отсутствие в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах вакантных воинских должностей согласно профилю подготовки кандидата или полученной им военно-учетной специальности;

решение аттестационной комиссии воинской части, утвержденное командиром (начальником) воинской части, о заключении контракта о прохождении военной службы с другим кандидатом по итогам конкурсного отбора;

решение комиссии военного комиссариата, совместной комиссии пункта отбора на военную службу по контракту и военного комиссариатаили аттестационной комиссии воинской части о несоответствии кандидата, поступающего на военную службу по контракту, требованиям, установленным настоящим Федеральным законом.

Контракт о прохождении военной службы не может быть заключен с гражданами, в отношении которых вынесен обвинительный приговор и которым назначено наказание, в отношении которых ведется дознание либо предварительное следствие или уголовное дело в отношении которых передано в суд, с гражданами, имеющими неснятую или непогашенную судимость за совершение преступления, отбывавшими наказание в виде лишения свободы, а также с гражданами, подвергнутыми административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, до окончания срока, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию. Контракт не может быть заключен с гражданами, лишенными на определенный срок вступившим в законную силу решением суда права занимать воинские должности, в течение указанного срока.

Однако, нельзя исключать отказ в заключении контракта по формальным причинам — например, отсутствия соответствующей должности в воинской части. подлежащей замещению лицом, проходящим военную службу по контракту или в связи с не прохождением профессионально психологического отбора, как одного из условий определения соответствия требованиям к заключению контракта. 

Если на «губе» будете находится по иным основаниям, например в качестве ареста по уголовному делу, то тут скорее всего Вас уволят со службы

УИК РФ

...

лава 19. ИСПОЛНЕНИЕ НАКАЗАНИЯ В ВИДЕ АРЕСТА
В ОТНОШЕНИИ ОСУЖДЕННЫХ ВОЕННОСЛУЖАЩИХ

 
Статья 149. Места отбывания ареста осужденными военнослужащими

(в ред. Федерального закона от 03.02.2014 N 7-ФЗ)

 
Военнослужащие, осужденные к аресту,отбывают наказание на гауптвахтах.

Если же Вы сейчас проходите службу по призыву, то решение о заключении контракта с \Вами будет приниматься командованием. 

Как оно отнесется к этому факту, сказать трудно, но не думаю, что это станет благоприятным фактором.