Может ли исполнение по контракту быть ранее регистрации такого контракта?

Не опечатка, действительно срок оказания услуг с 01.01.2017г. до 31.12.2017г. и указан пункт: срок действия контракта с 01.03.2017г. до 31.12.2017г.

Согласно ч. 2 ст. 425 ГК РФ, стороны вправе установить в договоре, что его условия распространяются на отношения, возникшие между сторонами до даты его заключения.

Однако в отношении контрактов такое общее правило не действует: отношения с исполнителем не могли у заказчика возникнуть до проведения процедуры определения поставщика. 

В связи с этим установленные сроки с 01.01.2017 противоречат 44-фз и в этой части контракт может быть признан недействительным.

Поэтому начальный срок (с 01.01.2017) неприменим в Ваших отношениях с заказчиком.

Есть и еще один риск: отсутствие начального срока оказания услуг означает отсутствие сроков, обязательность установления которых предусматривает ГК РФ:

1. В договоре подряда указываются начальный и конечный сроки выполнения работы. По согласованию между сторонами в договоре могут быть предусмотрены также сроки завершения отдельных этапов работы (промежуточные сроки). (ст. 708).

Согласно ст. 779 ГК РФ, 2. Правила настоящей главы применяются к договорам оказания услуг связи, медицинских, ветеринарных, аудиторских, консультационных, информационных услуг, услуг по обучению, туристическому обслуживанию и иных, за исключением услуг, оказываемых по договорам, предусмотренным главами 37, 38, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53 настоящего Кодекса.

Т. е. начальный и конечный срок оказания услуг является существенным условием договора оказания услуг и при их отсутствии договор считается незаключенным.

Т. е. в Вашем случае существует также риск признания договора незаключенным в целом.

Но, возможно, потребность в этом не возникнет. Вам остается только ориентироваться на конечный срок оказания услуг.