Каким образом можно написать отказ от отцовства?

Для того, чтобы добровольно лишить себя правомочий в отношении ребёнка, отцу предстоит пройти два этапа оформления отказа:

Составление соответствующего заявления;

Заявление об отказе от ребёнка подлежит обязательному нотариальному удостоверению и должно содержать в себе следующие сведения:

Реквизиты судебного учреждения, которому адресуется документ;
ФИО гражданина-заявителя, его адрес и паспортные данные;
ФИО ребёнка, от которого заявитель желает отказаться, дата и место его появления на свет;
Выражение своего волеизъявления на отказ от ребёнка;
Разрешение на усыновление малыша;
Согласие на отобрание родительских правомочий в отношении ребёнка;
Выражение осведомлённости о невозможности в дальнейшем отменить заявление об отказе;
При необходимости – разрешение рассматривать дело в отсутствие заявителя;
Дата составления;
Подпись заявителя
Надлежащим образом оформленное и удостоверенное нотариусом заявление передаётся в судебный орган для рассмотрения вопроса об отнятии у заявителя родительских прав. Дело рассматривается в соответствии с правилами разрешения подобного рода дел:

В присутствии представителей органов опеки;
С участием представителя прокуратуры;
Судья имеет право опросить ребёнка, достигшего десятилетнего возраста, с участием педагога или психолога;
Требование об отнятии родительских правомочий может поддержать мать ребёнка, представив документальные доказательства и свидетельские показания о несостоятельности отца в исполнении своего долга или злоупотребления правами родителя.

Здравствуйте, Антон! Как я понимаю, Ваш брак не зарегистрирован. Возможности отказаться от ребенка добровольно у Вас нет. Безосновательный отказ от ребенка законодательством не предусмотрен. Но вот записать в свидетельстве о рождении фамилию матери, а не отца, Ваша девушка может. Причем  это можно сделать как в случае, если между родителями ребенка зарегистрирован брак, так и вне регистрации брака. Согласно 

Федеральному закону от 15.11.1997 N 143-ФЗ,

1. При государственной регистрации рождения фамилия ребенка записывается по фамилии его родителей. При разных фамилиях родителей по соглашению родителей ребенку присваивается фамилия отца, фамилия матери или двойная фамилия, образованная посредством присоединения фамилий отца и матери друг к другу в любой последовательности, если иное не предусмотрено законами субъектов Российской Федерации. Не допускается изменение последовательности присоединения фамилий отца и матери друг к другу при образовании двойных фамилий у полнородных братьев и сестер. Двойная фамилия ребенка может состоять не более чем из двух слов, соединенных при написании дефисом.

С уважением, Татьяна.

Здравствуйте. В Семейном кодексе РФ нет такого понятие, как отказ от родительских прав на ребенка. Такой статьи там нет. Родитель не становится свободным, просто написав отказную. Решение остается за судом. Например, отца лишили родительских прав в судебном порядке. В этом случае он освобождается от обязанности воспитывать детей. Но содержать он их обязана, пока дети не достигнут совершеннолетия. Размер алиментов устанавливается судом. 

Если же вы хотите поменять фамилию ребенка то это совсем другое .

Здравствуйте, Антон. 

С точки зрения семейного права отказ от ребенка не допустим. 

Возможно лишение родительских прав. 

СК РФ Статья 69. Лишение родительских прав

 
Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ, от 28.11.2015 N 358-ФЗ, от 28.03.2017 N 39-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

злоупотребляют своими родительскими правами;
жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Возможно согласие на усыновление ребенка другим мужчиной. 

СК РФ Статья 129. Согласие родителей на усыновление ребенка

 
1. Для усыновления ребенка необходимо согласие его родителей. При усыновлении ребенка несовершеннолетних родителей, не достигших возраста шестнадцати лет, необходимо также согласие их родителей или опекунов (попечителей), а при отсутствии родителей или опекунов (попечителей) — согласие органа опеки и попечительства.
Согласие родителей на усыновление ребенка должно быть выражено в заявлении, нотариально удостоверенном или заверенном руководителем организации, в которой находится ребенок, оставшийся без попечения родителей, либо органом опеки и попечительства по месту производства усыновления ребенка или по месту жительства родителей, а также может быть выражено непосредственно в суде при производстве усыновления.

И еще вариант — это оспаривание отцовства в судебном порядке. Но в случае, если Вы биологический отец ребенка, то суд может не удовлетворить требования, даже если Вы подадите иск и мать ребенка согласится с исковыми требованиями. Может быть назначена экспертиза, при уклонении от экспертизы суд может принять решение о том, чтобы отказать в удовлетворении исковых требований. 

СК РФ Статья 52. Оспаривание отцовства (материнства)

 
1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.
2. Требование лица, записанного отцом ребенка на основании пункта 2 статьи 51 настоящего Кодекса, об оспаривании отцовства не может быть удовлетворено, если в момент записи этому лицу было известно, что оно фактически не является отцом ребенка.
3. Супруг, давший в порядке, установленном законом, согласие в письменной форме на применение метода искусственного оплодотворения или на имплантацию эмбриона, не вправе при оспаривании отцовства ссылаться на эти обстоятельства.
Супруги, давшие согласие на имплантацию эмбриона другой женщине, а также суррогатная мать (часть вторая пункта 4 статьи 51 настоящего Кодекса) не вправе при оспаривании материнства и отцовства после совершения записи родителей в книге записей рождений ссылаться на эти обстоятельства.

Если Вы в качестве отца еще не записаны в настоящий момент, то Вы можете не признавать отцовство, то есть не приходить в ЗАГС вместе с матерью ребенка для регистрации рождения. 

Относительно смены фамилии ребенку, то можно ее поменять без исключения информации о том, что Вы отец.