Согласно ст. 69 Закона об актах гражданского состояния "Основанием для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния является:
запись акта об установлении отцовства..."
Т.е. для производства изменения Вам необходимо установить отцовство, а для этого подать соответствующее заявление в орган ЗАГСа.
Согласно. ст. 50 Закона "Совместное заявлениеоб установлении отцовства отцаи матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка, подается ими в письменной форме в орган записи актов гражданского состояния.
В совместном заявлении об установлении отцовства должны быть подтверждены признание отцовства лицом, не состоящим в браке с матерью ребенка, и согласие матери на установление отцовства. В данном заявлении также должны быть указаны следующие сведения:
фамилия, имя, отчество, дата и место рождения, гражданство, национальность (указывается по желанию заявителя), место жительства лица, признающего себя отцом ребенка;
фамилия, имя, отчество, пол, дата и место рождения ребенка, а также реквизиты записи акта о его рождении (при установлении отцовства после государственной регистрации рождения ребенка);
фамилия, имя, отчество, дата и место рождения, гражданство, национальность (указывается по желанию заявителя), место жительства матери ребенка;
реквизиты записи акта о заключении брака (в случае вступления матери ребенка в брак с его отцом после рождения ребенка);
фамилия, имя, отчество ребенка после установления отцовства;
реквизиты документов, удостоверяющих личности отца и матери ребенка.
Заявители подписывают совместное заявление об установлении отцовства и указывают дату его составления.
При установлении отцовства после рождения ребенка одновременно с совместным заявлением об установлении отцовства представляется свидетельство о рождении ребенка".
В случае установления отцовства делается акт об установлении отцовства и выдаётся свидетельство. Далее согласно ст. 57
«На основании записи акта об установлении отцовства в запись акта о рождении ребенка вносятся сведения о его отце. Внесение сведений об отце, а также изменение фамилии, имени и отчества ребенка осуществляются в порядке, предусмотренном настоящим Федеральным законом для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния».
А именно далее Вы вместе с отцом ребёнка должны снова обратиться в орган ЗАГСа с заявление о внесении изменения в свидетельство о рождении, предоставив свидетельство об установлении отцовства и свидетельство о рождении ребёнка.