В вашей ситуации вам надо только бабушку выписать из квартиры через МФЦ и всё. Наследство открывать не надо раз она подарила свою долю при жизни и соответственно собственником какого-то имущества не является. Подаренная доля должна быть зарегистрирована в Росреестре. Статья 209. Содержание права собственности
1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.
2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.
Вы не поняли вопрос.Какие документы сейчас нужно переоформить?
Ничего не надо переоформлять, раз бабушка при жизни подарила долю. Выписывайте её только и больше ничего. И будет у вас два собственника в квартире мама с 2/3 долей и вы с 1/3 доли. Если бы бабушка была собственником доли на момент смерти вам бы сейчас пришлось заниматься оформлением наследства у нотариусу. А раз маме подарила, то вам ничего не надо делать после ее смерти.