Могу ли я подарить свою долю квартиры гражданскому мужу, сохранив прописку?

Здравствуйте, да. конечно можете, но при этом муж вас сможет легко выписать.

ГК РФ Статья 574. Форма договора дарения

 
1. Дарение, сопровождаемое передачей дара одаряемому, может быть совершено устно, за исключением случаев, предусмотренных пунктами 2 и 3 настоящей статьи.
Передача дара осуществляется посредством его вручения, символической передачи (вручение ключей и т.п.) либо вручения правоустанавливающих документов.
2. Договор дарения движимого имущества должен быть совершен в письменной форме в случаях, когда:
дарителем является юридическое лицо и стоимость дара превышает три тысячи рублей;
(в ред. Федерального закона от 25.12.2008 N 280-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

договор содержит обещание дарения в будущем.
В случаях, предусмотренных в настоящем пункте, договор дарения, совершенный устно, ничтожен.
КонсультантПлюс: примечание.
Правило о государственной регистрации сделок с недвижимым имуществом, содержащееся в статье 574, не подлежит применению к договорам, заключаемым после 1 марта 2013 года (Федеральный закон от 30.12.2012 N 302-ФЗ). Переход права собственности на недвижимое имущество подлежит государственной регистрации (ст. 131 настоящего Кодекса).

3. Договор дарения недвижимого имущества подлежит государственной регистрации.

Здравствуйте, дарение доли в квартире, тем более чужому человеку (гражданский супруг не является родственником) это очень опрометчивый шаг. Несмотря на то, что Вы сохраняете прописку в квартире, этот человек может выписать Вас через суд. Кроме того, впоследствии существует вероятность, что он сдаст комнату (его для это позволяет) посторонним людям, что доставит неудобство Вам и Вашему отцу. Подумайте и оцените все обстоятельства, прежде чем принять такое решение.