Могу ли я открыть расчетный счет в банке как физическое лицо и привязать его к эквайрингу?

Валентина, здравствуйте. Полагаю, вряд ли. Эквайринг -это приём к оплате платежных карт физических лиц в качестве средства оплаты товара, работ, услуг. Если физическое лицо оказывает услуги, продает товары, выполняет работы -это предпринимательская деятельность. Согласно ст.23 ГК РФ 

1. Гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя, за исключением случаев, предусмотренных абзацем вторым настоящего пункта.

Поэтому, если Вы не зарегистрированы в качестве ИП, то данная деятельность будет незаконной. И вряд ли Вы найдете хоть один банк, который заключит с Вами при таких условиях договор эквайринга.

Впрочем, согласно все той же статьи 23, некоторые виды деятельности могут осуществляться без регистрации ИП. Но на практике это практически никогда не встречается.