Должен ли работник голосовать на выборах, если руководство обязывает к этому?

Вообще-то голосовать обязан каждый человек, с 18 лет, начальство здесь ни причем, это закон.

Здравствуйте, Дмитрий!

Вы можете указать руководству на ответственность за подобные действия, предусмотренную УК РФ:

УК РФ, Статья 141. Воспрепятствование осуществлению избирательных прав или работе избирательных комиссий

 
1. Воспрепятствование свободному осуществлению гражданином своих избирательных прав или права на участие в референдуме, нарушение тайны голосования, а также воспрепятствование работе избирательных комиссий, комиссий референдума либо деятельности члена избирательной комиссии, комиссии референдума, связанной с исполнением им своих обязанностей, — наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ, от 10.07.2012 N 106-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

(часть первая в ред. Федерального закона от 04.07.2003 N 94-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. Те же деяния:
а) соединенные с подкупом, обманом, принуждением, применением насилия либо с угрозой его применения;
(в ред. Федерального закона от 04.07.2003 N 94-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

б) совершенные лицом с использованием своего служебного положения;
в) совершенные группой лиц по предварительному сговору или организованной группой, — наказываются штрафом в размере от ста тысяч до трехсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного года до двух лет, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до пяти лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до пяти лет.
(в ред. Федеральных законов от 07.12.2011 N 420-ФЗ, от 10.07.2012 N 106-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Вмешательство с использованием должностного или служебного положения в осуществление избирательной комиссией, комиссией референдума ее полномочий, установленных законодательством о выборах и референдумах, с целью повлиять на ее решения, а именно требование или указание должностного лица по вопросам регистрации кандидатов, списков кандидатов, подсчета голосов избирателей, участников референдума и по иным вопросам, относящимся к исключительной компетенции избирательной комиссии, комиссии референдума, а равно неправомерное вмешательство в работу Государственной автоматизированной системы Российской Федерации «Выборы» — (в ред. Федерального закона от 21.07.2005 N 93-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

наказывается штрафом в размере от двухсот тысяч до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного года до трех лет, либо принудительными работами на срок до четырех лет, либо лишением свободы на срок до четырех лет со штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев либо без такового.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ, от 10.07.2012 N 106-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

(часть третья введена Федеральным законом от 04.07.2003 N 94-ФЗ)

Голосование на выборах — это прежде всего свобода волеизъявления гражданина.