Какие я имею права на квартиру матери, если прописана там с детьми?

Для начала обращайтесь в полицию. Боюсь, что теперь Вы будете обращаться туда регулярно, если не решите вопрос с мамой мирным путем. Так как Вы вместе с детьми имеете регистрацию в этом жилом помещении, то имеете полное право, если Вас в судебном порядке не сняли с регистрационного учета, пользоваться данным жилым помещением вместе с детьми. Также Вы можете обратиться за судебной защитой своих прав и прав детей с исковым заявлением об определении порядка пользования жилым помещением

Добрый день, Дарья.
Согласно ч. 12 ст. 31 Жилищного кодекса РФ члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое помещение по назначению, обеспечивать его сохранность
Чем Ваша мать мотивирует выселение из квартиры?
Вы не участвуете в оплате коммунальных услуг (было ли у Вас с мамой (собственником) заключено соглашение, регулирующее порядок оплаты ЖКУ, если нет, то Вы фактически и не несете обязанность по оплате, но даже при задолженности она не может просто выселить Вас на улицу)?
У Вас есть иное жилье пригодное для проживания, где Вы могли бы проживать? В силу ч. 2 ст. 20 Гражданского кодекса РФ местом жительства несовершеннолетних детей, не достигших возраста 14 лет признается место жительства их родителей (у отца Ваших детей есть свое жилье (где он был бы собственником или нанимателем).
В соответствии с ч. 4 ст 3 Жилищного кодекса РФ никто не может быть выселен из жилища или ограничен в праве пользования жилищем, в том числе в праве получения коммунальных услуг, иначе как по основаниям и в порядке, которые предусмотрены Жилищным кодексом РФ, другими федеральными законами. Соответственно, если у Вас и Ваших детей нет иного жилья, где Вы могли бы проживать, то Вы имеете хорошие шансы (законные основания у Вас есть и при наличии иного жилья) выиграть судебное разбирательство о нечинении препятствий в пользовании жилым помещением (принудительном вселении в квартиру).