Я уволился с работы и через неделю заболел, может ли предыдущий работодатель оплатить больничный?

Оплачивать больничный лист, представленный уже уволенным работникам, надо в следующих ситуациях:

2) работник заболел или получил травму в течение 30 календарных дней после увольнения. В этом случае вне зависимости от страхового стажа работника пособие рассчитывается исходя из 60% среднего заработка (ч. 2 ст. 7 Закона N 255-ФЗ, Информация ФСС).

Да это его обязанность.

Да, работодатель оплатит Вам больничный лист, поскольку вы заболели до истечения 30 дней со дня увольнения.