Должен ли у сотрудника ГИБДД работать видеорегистратор во время нахождения водителя в его машине?

Виктор! При всем Вашем ЖЕЛАНИИ — видеорегистратор включает СОТРУДНИК ПОЛИЦИИ по своему усмотрению!

т.е. при совершении ВАМИ каких-либо дополнительных правонарушений или совершении ВАМИ действий которые караются УК РФ (дача взятки, применение насилия в отношении сотрудника ГИБДД, угроза физ. расправой и т. п.)

Поэтому УВЫ, но никакими документами — данный порядок действий НЕ РЕГЛАМЕНТИРОВАН, что в принципе не мешает Вам производить ВИДЕОСЪЕМКУ ДОЛЖНОСТНОГО ЛИЦА… и его действий САМОСТОЯТЕЛЬНО!