Здравствуйте, Алена!
Вы пишете: "В прошлом году уволили из банка за утрату доверия, есть ли вероятность что возьмут в другой банк, если не предоставлять трудовую, а попросить завести новую?"
Вероятность всегда есть, если даже Вы предъявите ту же трудовую книжку, которую Вам выдавали ранее. Но это же всего лишь вероятность. Если скажете в другом банке, что Вы никогда нигде не работали и потому у Вас нет трудовой книжки, могут Вас принять на работу. Но надо иметь в виду, что если вдруг узнают, что Вы их обманули, Вас вновь могут уволить за недоверие.