Нет, вы не можете сами выбирать нотариуса.
В случае смерти нотариуса, его тяжелой болезни, объявления в розыск, лишения права нотариальной деятельности по решению суда, при наступлении иных обстоятельств, делающих невозможной передачу дел самим нотариусом, дела нотариуса, включая нотариальные архивные документы, в течение двух месяцев передаются другому нотариусу, определяемому в порядке, установленном п. 99 Правил, комиссией, создаваемой приказом территориального органа юстиции по согласованию с нотариальной палатой.
пункт 99 Правил нотариального делопроизводства
В случае длительного отсутствия нотариуса (более трех месяцев), невозможности исполнять им свои полномочия и (или) содержать архив, а также сложения полномочий нотариусом, занимающимся частной практикой, изменения территории его деятельности, увольнения нотариуса, работающего в государственной нотариальной конторе, или работника, ответственного за делопроизводство, дела и документы передаются по акту:
нотариусом, занимающимся частной практикой, — другому нотариусу, определенному приказом территориального органа по согласованию с нотариальной палатой;
нотариусом, работающим в государственной нотариальной конторе, — нотариусу, ответственному за делопроизводство в государственной нотариальной конторе, в соответствии с приказом территориального органа;
нотариусом, ответственным за делопроизводство в государственной нотариальной конторе, — другому нотариусу, работающему в государственной нотариальной конторе, определенному приказом территориального органа, либо нотариусу, занимающемуся частной практикой, определенному приказом территориального органа по согласованию с нотариальной палатой;
Срок передачи дел не должен превышать 30 дней с момента сложения полномочий нотариусом, занимающимся частной практикой, если Правилами не установлено иное.