Могу ли я, проходя службу по контракту, во время отпуска уезжать за границу?

Дмитрий, здравствуйте.

И что для этого нужно вообще

Рапорт на имя командира с просьбой разрешить выезд за границу с указанием страны выезда, с какой целью (отдых, лечение, посещение родственников или др.) и предполагаемого времени пребывания за границей, после ждать решения.

Федеральный закон «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»
Статья 19
Статья 19. Военнослужащие Вооруженных Сил Российской Федерации, а также федеральных органов исполнительной власти, в которых предусмотрена военная служба, за исключением лиц, проходящих военную службу по призыву, выезжают из Российской Федерации при наличии разрешения командования, оформленного в порядке, установленном Правительством Российской Федерации.
Постановление Правительства РФ от 19 декабря 1997 г. N 1598 «О порядке оформления разрешений на выезд из Российской Федерации военнослужащих Вооруженных Сил Российской Федерации, а также федеральных органов исполнительной власти, в которых предусмотрена военная служба»
В соответствии со статьей 19 Федерального закона «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» (Собрание законодательства Российской Федерации, 1996, N 34, ст.4029) Правительство Российской Федерации постановляет:
1. Установить, что разрешение на выезд из Российской Федерации военнослужащих Вооруженных Сил Российской Федерации, а также федеральных органов исполнительной власти, в которых предусмотрена военная служба (далее именуются — военнослужащие), дается Министром обороны Российской Федерации и руководителями соответствующих федеральных органов исполнительной власти или уполномоченными ими лицами.
Выезд военнослужащих из Российской Федерации (за исключением военнослужащих Службы внешней разведки Российской Федерации и Федеральной службы охраны Российской Федерации) подлежит согласованию с соответствующими органами Федеральной службы безопасности Российской Федерации.
…
Председатель Правительства Российской Федерации В. Черномырдин

Удачи Вам!

С уважением, Мурзин А.