Имеет ли право бывший муж запрашивать характеристику ребенка у заведуюей МДОУ?

Он же не бывший отец. Имеет право.

Общий перечень родительских прав и обязанностей установлен положениями раздел IV СК РФ.

К ним относится:

право на выбор имени малышу;
обязанность произвести регистрацию рождения ребенка в ЗАГСе;
воспитание детей, в т. ч. общение с ними;
забота о здоровье и духовном развитии малыша;
истребование детей у третьих лиц;
ответственность за получение ребенком общего образования;
одобрение сделок с недвижимостью.

СК РФ ст. 66

Кроме того, родители не утрачивают свои права: после расторжения брачных отношений; или в связи с проживанием отдельно от детей

К основным правам отца на ребенка при разводе относится:

доступ к необходимой информации;

беспрепятственные встречи;

одобрение выезда за границу;

согласие на смену фамилии;

получение алиментов;

другие права мужа.

ПОЛУЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ

Если отец проживает отдельно, тогда получать необходимую информацию о ребенке он может: непосредственно от матери; через воспитательные учреждения; в медицинских организациях; через учреждения социальной защиты населения.

В случае отказа в предоставлении нужной информации заинтересованное лицо может обратиться в суд (ст.66 СК РФ).

В случае отказа, да еще и с вашего настоятельного согласия, это может быть рассмотрено как нарушение прав отца, чинимые с вашей стороны препятствия, в конце концов может привести к пересмотру решения суда о графике встреч и месте проживания ребенка. Отказ однозначно будет незаконный.