Может ли собственник жилья в многоквартирном доме осмотреть техэтаж?

Да, имеете. Техэтаж это общедолевая собственность, т.е. у вас право на него пропорционально площади вашего жилья. Пользоваться Вы им можете, а вот куда либо отчуждать нет. УК это всего лишь наёмная компания, которой Вы платите деньги, за то что они содержат двор, лестницы, коридоры и тот самый техэтаж. Это всё равно, что живя в частном доме и платя деньги садовнику, он бы не пускал Вас погулять по лужайке.

У нас, например, на тех этаже места оборудованные под жильё сделаны, и УК их сдаёт в найм. Не факт, что у Вас такого нет. Поэтому берите жилищный кодекс, вооружайтесь терпением и боритесь с ними: сперва устно, отказываются устно — пишите претензию, в которой свои требования описываете, получаете отказ письменный или игнор, то идёте в прокуратуру и жилищную инспекицю. Успехов. Палец вверх.