Екатерина, добрый день!
В соответствии со ст.49 СК РФ суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица. Попробуйте привести в суд свидетелей (ваших общих знакомых например), которые дадут показания о том, что вы проживали вместе в определенный период, находились в близких отношениях и т.д.
К доказательствам признания отцовства могут относиться письма ответчика, его анкеты, заявления и другие фактические данные, которые с достоверностью подтверждают признание ответчиком отцовства. Такое признание может быть выражено как в период беременности матери (например, желание иметь ребенка, забота о матери будущего ребенка и др.), так и после рождения ребенка. В случае, если судом все-таки будет назначена экспертиза, то с проигравшей стороны по делу (если отцовство будет доказано), Вы можете взыскать судебные расходы, в том числе и расходы на проведение экспертизы.