Могу ли я летать по стране, если не имею на руках паспорта, но помню все данные, указанные в нем?

Алексей, добрый день!

К сожалению, улететь домой без паспорта Вы не сможете. Вам необходимо обратиться в подразделение ФМС России в городе, в котором сейчас находитесь, с заявлением о выдаче паспорта (в качестве основания лучше указать утрату, а не кражу), одновременно попросив оформить временное удостоверение личности. По временному удостоверению Вы сможете улететь домой, при этом лучше связаться с авиакомпанией заранее для выяснения возможных ограничений (в теории их быть не должно). При этом ждать изготовления паспорта (2 месяца) не обязательно, Вы можете обратиться за ним в подразделение ФМС по месту своего жительства.

Приказ ФМС России от 30.11.2012 N 391 (ред. от 02.02.2015) «Об утверждении Административного регламента Федеральной миграционной службы по предоставлению государственной услуги по выдаче и замене паспорта гражданина Российской Федерации, удостоверяющего личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации»
21. Паспорта выдаются гражданам:
в 2-месячный срок со дня приема подразделениями всех необходимых документов (или заявления о выдаче (замене) паспорта и личной фотографии в форме электронных документов) в случае оформления паспорта не по месту жительства или в связи с утратой (похищением) паспорта, если утраченный (похищенный) паспорт ранее выдавался иным подразделением.
100. В случае убытия гражданина до получения паспорта он может быть направлен по письменному запросу специальной почтой или федеральной фельдъегерской связью для вручения в подразделение по новому месту жительства, месту пребывания или месту обращения гражданина на территории Российской Федерации. Подписанное гражданином заявление о выдаче (замене) паспорта по форме N 1П (приложение N 1 к Административному регламенту) в течение 3 (трех) суток возвращается специальной почтой или федеральной фельдъегерской связью в подразделение, оформившее паспорт.