Если гражданка РФ рожает в Узбекистане, будет ли проблематично оформить гражданство РФ ребенку?

В клинике, после рождения ребенка, матери выдается соответствующая метрическая справка — справка о рождении (в разных странах она может быть разной формы), отражающая всю информацию о ребенке: когда родился, в каком учреждении, кто родители, как назвали и т.п.

А дальше у родителей два пути, которые зависят от страны пребывания: обратиться в российское консульство или в местный муниципалитет. Хотя, при регистрации рождения за границей все дороги, так или иначе, ведут в консульство РФ. Факт рождения ребенка нужно будет обязательно там зарегистрировать, иначе вас просто не выпустят на Родину.
Так что схемы обращения универсальные:
Относите справку о рождении ребенка в местный муниципалитет;
получаете свидетельство о рождении в стране пребывания;
переводите свидетельство;
нотариально заверяете перевод;
ставите апостиль в консульстве РФ.
Либо:
получаете справку о рождении;
переводите справку;
нотариально заверяете перевод
ставите апостиль в консульстве РФ (это желательно, т.к. потом справка потребуется для оформления пособий на ребенка);
обращаетесь в консульство РФ за российским свидетельством о рождении.
Апостиль — специальный знак, проставляемый на официальные документы некоммерческого характера, созданные в одном государстве и подлежащие передаче в другое государство и подтверждающий законность и подлинность этих документов.