Здравствуйте,
Если квартира не приватизирована, соответственно собственностью наследодателя она не является и в наследственную массу не входит.
В отношении предметов домашней обстановки, конечно, они могут наследоваться. Надо только выяснить, где Ваши вещи, где бабушкины. Уточнить, являетесь ли Вы наследником. Вы как внук, наследуете по праву представления, т.е. в том случае, если Ваш родитель (сын/дочь бабушки) умер раньше бабушки.
Если являетесь, то у Вас преимущественное право наследовать предметы обычной домашней обстановки.
ГК РФ
Статья 1169. Преимущественное право на предметы обычной домашней обстановки и обихода при разделе наследства
Наследник, проживавший на день открытия наследства совместно с наследодателем, имеет при разделе наследства преимущественное право на получение в счет своей наследственной доли предметов обычной домашней обстановки и обихода.