Юридически действия работодателя незаконны.
В соответствии со ст. 16 ТК РФ:
«Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.»
Согласно ст. 61 ТК РФ:
"Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя."
Согласно ст. 67 ТК РФ:
"Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе..."
То есть работодатель по закону обязан был оформить Вас не позднее трех рабочих дней со дня начала работы.
Вы можете написать жалобу на действия работодателя в трудовую инспекцию, в прокуратуру, подать иск в суд на признании заключенным трудового договора с момента начала работы.
Вопрос, целесообразно ли это.