Ответственность за это возлагается на орган ФМС, так как они нарушили п.96.4 Административного регламента Федеральной миграционной службы по предоставлению государственной услуги по выдаче и замене паспорта гражданина Российской Федерации, удостоверяющего личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации"
96.4. предложить гражданину расписаться ручкой черного цвета на установленных местах на второй странице паспорта и в заявлении о выдаче (замене) паспорта по форме N 1П (приложение N 1 к Административному регламенту), с указанием фамилии, имени, отчества и даты получения паспорта;
Отсутствие подписи в паспорте не означает что он недействителен. Паспорт выдается в соответствии с Постановлением Правительства РФ от 08.07.1997 N 828 «Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации», в котором указано, что недействительным паспорт является только тогда, когда в него внесены сведения, отметки или записи, не предусмотренные настоящим Положением. А вот отсутствие подписи не означает что он недействителен. Можете сами расписаться, соблюдая п.96.4 регламента. Можете посетить ваш УФМС, чтобы дали ручку с соответствующими чернилами.
И тем более это не основание для отказа в трудоустройстве.