Здравствуйте, уважаемая Елена!
Честно говоря, я немного не понимаю характер Вашей проблемы. Если у Вашего бывшего мужа есть постоянная работа и Вам известно местонахождения его работодателя, то я не вижу нужды возбуждать исполнительное производство и, соответственно, обращаться в ФССП.
Исполнительный лист надо просто скопировать на ксероксе, удостоверить копию у любого нотариуса (это самое недорогое нотариальное действие), затем переслать заверенную копию по почте или лично вручить в ту организацию, где работает Ваш бывший муж. Вот если он в настоящее время не имеет постоянной работы или местонахождения его работодателя Вам неизвестно, тогда есть смысл вверить его в надёжные руки пристава-исполнителя. Просто вручите ему исполнительный лист.
Вопрос об оспаривании отцов — это уже другой вопрос. Пусть он доказывает, что он не отец. Ваша задача всего лишь настойчиво всё отрицать. Я что-то сомневаюсь, что он сумеет что-либо доказать.