Здравствуйте.
Исправить несоответствие можно во внесудебном порядке - через ст. 69-70 Федерального закона № 143-ФЗ, если ошибка в записи акта о рождении носит технический характер и никем не оспаривается.
По Вашему описанию произошло следующее: в оригинальной актовой записи о рождении имя записано верно, а вот когда меняли паспорт (по достижении 14 лет, судя по контексту - "училась в школе"), в паспортный документ внесли неверное написание - переправили 2 буквы. Сейчас, когда Вы обратились в ЗАГС, выяснилось, что и сама база/архивная запись содержит уже третий вариант написания - одна буква пропала, другая заменена. То есть у Вас три разных написания имени в трёх источниках: свидетельство о рождении (правильное), старый паспорт (с ошибкой №1) и текущая запись в ЗАГС (с ошибкой №2).
Это классическая ситуация технической ошибки в записи акта гражданского состояния, и основание для исправления - именно оригинал свидетельства о рождения, а не паспорт. Но важный нюанс: сам ЗАГС не обязан слепо верить Вам на слово, нужно официально подтвердить, какое написание - верное, и подать заявление с приложением документа-основания. Если в ЗАГС откажут (например, посчитают, что расхождение слишком существенное и это уже не техническая ошибка, а спор о принадлежности документа), тогда дорога - только в суд по ст. 307 ГПК РФ.
Пока запись не исправлена официально - паспорт менять смысла нет, Вы просто продублируете ошибку. Начинать нужно с ЗАГС, и только потом - паспорт.