Здравствуйте.
Право собственности на квартиру принадлежит собственнику, и родство не создает у ребенка права требовать передачи ему доли.
Что касается регистрации по месту жительства, то ситуация иная. Если отец является собственником квартиры и ребенок фактически должен проживать с ним (например, место жительства ребенка определено с отцом либо имеется согласие родителей), зарегистрировать ребенка по месту жительства отца возможно. Если отец необоснованно отказывается зарегистрировать ребенка, вопрос может быть разрешен в судебном порядке с учетом конкретных обстоятельств и интересов ребенка.
Необходимо доказать, что ребенок имеет законные основания проживать в его квартире, а также что это соответствует интересам ребенка (ст. 65 СК РФ). Указанные Вами обстоятельства могут иметь доказательственное значение, более того, целесообразно представить документы, подтверждающие, что квартира, в которой зарегистрированы Вы и ребенок, непригодна для проживания. Это могут быть акт о пожаре, решение о признании дома аварийным, фотографии, заключения органов местного самоуправления или иных компетентных органов о состоянии жилого помещения. Эти доказательства будут свидетельствовать о том, что регистрация по прежнему адресу носит формальный характер и фактически проживать там невозможно.
Однако достаточность доказательств будет оцениваться судом в совокупности с другими обстоятельствами дела.