И можно ли ему не вступать в законный брак с матерью ребенка?

Здравствуйте, Елена 

Краткий вывод:
Мужчина может добровольно признать отцовство ребёнка 6 лет, обратившись в орган ЗАГС. Вступать в брак с матерью ребёнка для этого не требуется.

Правовая логика применительно к вашему вопросу:
Если родители ребёнка не состоят в браке, отцовство устанавливается в добровольном порядке через ЗАГС:

подаётся совместное заявление отца и матери ребёнка;
обратиться можно в любой ЗАГС либо через МФЦ;
возраст ребёнка (6 лет) препятствием не является.
После регистрации отцовства в актовую запись о рождении вносятся сведения об отце, и мужчина приобретает все права и обязанности родителя.

Заключение брака между родителями не является обязательным условием ни для признания отцовства, ни для его регистрации.

Практические последствия и риски:
— с момента установления отцовства у отца возникают не только права, но и обязанности (в том числе алиментные);
— в дальнейшем оспаривание добровольно установленного отцовства возможно только в судебном порядке и при наличии оснований;
— согласие матери является обязательным, если процедура проводится через ЗАГС.

Если мать ребёнка не согласна, тогда вопрос решается уже через суд — но это отдельная процедура.

Если нужно — могу подробно разобрать вашу ситуацию в чате и подсказать оптимальный вариант действий.

Если мой ответ был полезен, вы можете поддержать консультацию: pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/4362307/