Здравствуйте Алена!
Если я правильно понял, то отец ребенка в свидетельстве о рождении не указан. Тогда Вам необходимо обратиться в суд либо по мету своего жительства, либо по месту жительства ответчика, с исковым заявлением об установлении отцовства и взыскании алиментов.
По поводу экспертизы. Да Вы можете заявить ходатайство о ее проведении, однако оплачивать ее изначально необходимо Вам. после того, как отцовство будет установлено все понесенные Вами расходы Вам будет возмещать ответчик, в том числе и на экспертизу.
Однако изначальную оплату экспертизы за Ваш счет можно попробовать обойти если Вы предоставите сведения о том, что у Вас не высокие доходы (справка о зарплате).
Важным моментом для установления отцовства помимо экспертизы являются показания свидетелей, поэтому Вам необходимо заручиться ими за ранее.
Если Вам необходима помощь в составлении искового заявления, обращайтесь, пожалуйста, в чат.
С уважением,
Ярослав Цветков.