Добрый день, Юлия!
Да, можно заключить договор текущей датой на услуги, которые были оказаны ранее. Более того, это распространенная и законная практика в России.
В самом договоре, который подписывается текущей датой, обязательно нужно указать, что его условия распространяются на отношения, фактически возникшие между сторонами в прошлом. Это называется ретроспективной (или ретроактивной) оговоркой.
Такая оговорка прямо предусмотрена пунктом 2 статьи 425 Гражданского кодекса РФ, который гласит, что стороны вправе установить, что условия заключенного ими договора применяются к их отношениям, возникшим до заключения договор